На доске было написано 10 последовательных натуральных чисел. Когда стерли одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2002. Какие числа остались на доске? ...

На доске было написано 10 последовательных натуральных чисел. Обозначим их как $ n, n+1, n+2, \ldots, n+9 $.

Шаг 1: Найдем сумму всех 10 чисел.
[
S = n + (n+1) + (n+2) + \ldots + (n+9) = 10n + 45
]

Шаг 2: После удаления одного числа сумма стала равна 2002. Пусть удалённое число — $ n+k $, где $ 0 \leq k \leq 9 $. Тогда:
[
S - (n + k) = 2002 \
10n + 45 - n - k = 2002 \
9n + 45 - k = 2002 \
9n - k = 1957
]

Шаг 3: Найдём возможные значения $ n $ и $ k $.
[
9n = 1957 + k
]
Поскольку $ 0 \leq k \leq 9 $, и $ 1957 \mod 9 = 4 $ (сумма цифр 1+9+5+7=22, $ 22 \mod 9 = 4 $), для делимости на 9 необходимо, чтобы $ k = 5 $.

Итак:
[
9n = 1957 + 5 = 1962 \
n = \frac{1962}{9} = 218
]

Следовательно, 10 чисел:
[
218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227
]
Удалённое число: $ 223 $

Числа, оставшиеся на доске:
[
218,\ 219,\ 220,\ 221,\ 222,\ 224,\ 225,\ 226,\ 227
]

Ответ: На доске остались числа 218, 219, 220, 221, 222, 224, 225, 226 и 227. ...