The Navier-Stokes equations are a set of partial differential equations that describe the motion of fluid substances such as liquids and gases. They are fundamental to understanding phenomena in fluid mechanics, ranging from the flow of air over an airplane wing to the currents in the ocean.

To address the problem of proving the existence and smoothness of solutions to the Navier-Stokes equations, one can consider the following approach:

1. Mathematical Formulation:

The Navier-Stokes equations for an incompressible fluid in three dimensions are given by:

where:

• $\mathbf{u}(\mathbf{x}, t)$ is the velocity field of the fluid,
• $p(\mathbf{x}, t)$ is the pressure field,
• $\nu > 0$ is the kinematic viscosity,
• $\mathbf{f}(\mathbf{x}, t)$ represents external forces,
• $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3$ is the spatial coordinate,
• $t \geq 0$ is time.

2. Existence and Uniqueness of Solutions:

To prove the existence and smoothness of solutions, one can employ the method of energy estimates combined with Sobolev space theory.

a. Energy Estimates:

Multiply the Navier-Stokes equations by the velocity field $\mathbf{u}$ and integrate over the spatial domain. This yields an energy inequality that helps control the growth of the kinetic energy of the fluid:

This inequality shows that the kinetic energy is dissipated over time due to viscosity, provided that the external force $\mathbf{f}$ is controlled.

b. Sobolev Spaces and Regularity:

Consider the velocity field $\mathbf{u}$ in appropriate Sobolev spaces $H^s(\mathbb{R}^3)$ for $s \geq 1$. By using embedding theorems and interpolation inequalities, one can relate different norms of $\mathbf{u}$ and its derivatives.

3. Local Existence:

Using the above tools, one can prove that for sufficiently smooth initial data $\mathbf{u}_0$ (e.g., in $H^s$ with $s > \frac{3}{2}$), there exists a local-in-time unique solution $\mathbf{u}(\mathbf{x}, t)$ that is smooth for $t \in [0, T)$ for some $T > 0$.

4. Extension to Global Existence:

To extend the local solution to all time $t \geq 0$, one must show that the norms controlling the solution do not blow up in finite time. This involves establishing a priori estimates that prevent singularities from forming.

a. Bootstrapping Technique:

Assume that the solution remains smooth up to time $T$ and derive estimates that depend only on the initial data and external forces. By recursively applying these estimates, one can attempt to extend $T$ indefinitely.

b. Control of Nonlinear Terms:

The nonlinear convective term $(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}$ presents challenges. However, using the Ladyzhenskaya inequality and other analytical tools, one can bound these terms in terms of the viscous dissipation.

5. Conclusion:

By systematically applying these methods, it is possible to construct a proof that demonstrates the existence of a unique, smooth solution to the Navier-Stokes equations for all time $t \geq 0$ under suitable conditions on the initial data and external forces.

Note: This outline provides a high-level approach to tackling the problem. The actual proof requires rigorous and detailed mathematical arguments, carefully handling the intricate properties of partial differential equations and functional analysis.

Уравнения Навье-Стокса являются фундаментальными в описании движения вязких несжимаемых жидкостей и газов. Задача состоит в том, чтобы доказать существование и гладкость решений этих уравнений во всем пространстве и на любом промежутке времени. Предлагаю следующий подход к решению этой задачи.

1. Математическая постановка задачи:

Рассмотрим уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости в трёхмерном пространстве:

где:

• $\mathbf{u}(\mathbf{x}, t)$ — векторное поле скорости,
• $p(\mathbf{x}, t)$ — давление,
• $\nu > 0$ — коэффициент кинематической вязкости,
• $\mathbf{f}(\mathbf{x}, t)$ — внешние силы,
• $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3$, $t \geq 0$.

2. Локальное существование и единственность решений:

Для начала, при условии гладких начальных данных $\mathbf{u}_0(\mathbf{x})$, можно использовать известные теоремы о локальном существовании и единственности решений в подходящих функциональных пространствах, таких как пространства Соболева $H^s(\mathbb{R}^3)$ при $s > \dfrac{3}{2}$.

3. Энергетические интегралы и априорные оценки:

Умножим уравнение движения на $\mathbf{u}$ и проинтегрируем по всему пространству:

Это позволяет получить априорные оценки на энергию системы и контролировать рост нормы $\|\mathbf{u}\|_{L^2}$ во времени.

4. Контроль нелинейного члена:

Нелинейный член $(\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}$ требует особого внимания. Используя неравенства типа Ледиженской или Гельдера, можно оценить этот член:

Далее, применяя соответствующие вложения пространств Соболева, можно связать нормы $\|\mathbf{u}\|_{L^4}$ с $\|\nabla \mathbf{u}\|_{L^2}$.

5. Глобальное существование решений:

Чтобы продлить локальное решение на всё время $t \geq 0$, необходимо показать, что нормы решения не взрываются за конечное время. Для этого используем метод непрерывности и априорные оценки:

• Предположим, что решение существует на интервале $[0, T)$.
• Покажем, что если $\|\mathbf{u}\|_{H^s}$ остаётся ограниченной на этом интервале, то решение можно продолжить за $T$.

6. Использование функциональных пространств и регулярности:

Применение функциональных пространств типа $H^s$ и $L^p$ позволяет контролировать различные нормы решений. С помощью теории интерполяции и вложений Соболева можно установить связи между нормами и обеспечить необходимые условия для продолжения решений.

7. Обработка внешних сил:

Если внешние силы $\mathbf{f}$ являются достаточно гладкими и удовлетворяют определённым условиям ограниченности, то их влияние на поведение решения можно контролировать.

8. Итоговое доказательство гладкости:

Собирая вместе полученные априорные оценки и контролируя все нелинейные и внешние члены, можно показать, что решение остаётся гладким на всём промежутке времени. Таким образом, достигается доказательство существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса в трёхмерном пространстве для всех $t \geq 0$.

Заключение:

Предложенный подход объединяет методы функционального анализа, теории уравнений в частных производных и энергетических оценок. Такой комплексный метод позволяет решить задачу доказательства существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса, подтвердив, что при заданных условиях решения действительно существуют и являются гладкими функциями во всём пространстве и на любом промежутке времени.