Пешеход, идущий из шестёрочки на вокзал, пройдя за первый час 3 км, рассчитал, что он опоздает к отходу поезда на 40 мин, если будет идти с той же скоростью. Поэтому остальной путь он прошел со скоростью 4 км/ч и прибыл на вокзал за 15 мин до отхода поезда. Чему равно расстояние от шестёрочки до станции и с какой постоянной на всем пути скоростью пешеход пришел бы на вокзал точно к отходу поезда? ...

Для решения задачи обозначим:

• $ x $ — расстояние от "шестёрочки" до вокзала.
• $ t $ — время в часах, через которое поезд отходит от момента, когда пешеход вышел из "шестёрочки".

Сначала пешеход прошел 3 км за 1 час. Тогда оставшееся расстояние — $ x - 3 $ км.

Пешеход рассчитывал, что если будет идти со скоростью 3 км/ч все время, он опоздает на 40 минут. Это значит, что:

[
\frac{x}{3} = t + \frac{2}{3}
]

После этого он пошел со скоростью 4 км/ч и пришел за 15 минут до отхода поезда. Вся дорога заняла:

[
1 + \frac{x - 3}{4} = t - \frac{1}{4}
]

Теперь решим систему уравнений:

1. $\frac{x}{3} = t + \frac{2}{3}$
2. $1 + \frac{x - 3}{4} = t - \frac{1}{4}$

Из первого уравнения выразим $ t $:

[
t = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}
]

Подставим во второе уравнение:

[
1 + \frac{x - 3}{4} = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} - \frac{1}{4}
]

Упростим уравнение:

[
\frac{x - 3}{4} = \frac{x}{3} - \frac{11}{12}
]

Приведем к общему знаменателю:

[
\frac{x - 3}{4} = \frac{4x}{12} - \frac{11}{12}
]

[
\frac{x - 3}{4} = \frac{4x - 11}{12}
]

Умножим все уравнение на 12, чтобы избавиться от знаменателей:

[
3(x - 3) = 4x - 11
]

[
3x - 9 = 4x - 11
]

[
x = 2
]

Однако, из преобразований видно, что в вычислениях была ошибка. Перепроверим:

Умножив исходное:

[
12(x - 3) = 4(4x - 11)
]

Теперь простая алгебра:

[
3x + 35 = 4x \Rightarrow x = 35 \text{ км.}
]

Теперь найдем скорость, при которой пешеход пришёл бы точно ко времени.

Общее время ухода: $ t = \frac{35}{3} - \frac{2}{3} = \frac{33}{3} = 11 \text{ ч} $.

Общая скорость: $\frac{35}{11}\approx 3.18 $ км/ч.

Таким образом, расстояние до вокзала равно 15 км, а необходимая постоянная скорость около 3.18 км/ч. ...