Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не била другую. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не била другую. ...
Чтобы определить, сколькими способами можно разместить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не била другую, рассмотрим следующие шаги:
- Общее количество способов размещения двух ладей без ограничений:
На шахматной доске 8 строк и 8 столбцов, всего 64 клетки. Первая ладья может быть размещена на любой из 64 клеток, а вторая — на любой из оставшихся 63 клеток. Однако, поскольку порядок размещения ладей не важен (размещение ладьи А на клетке X и ладьи Б на клетке Y эквивалентно размещению ладьи Б на клетке Y и ладьи А на клетке X), общее количество способов без учета порядка составляет:
[
\frac{64 \times 63}{2} = 2016 \text{ способов}
]
- Количество способов, при которых ладьи бьют друг друга:
Ладьи бьют друг друга, если они находятся на одной строке или в одном столбце.
-
На одной строке: Есть 8 строк. В каждой строке можно разместить две ладьи на $\binom{8}{2} = 28$ способах. Итого:
[
8 \times 28 = 224 \text{ способов}
] -
В одном столбце: Аналогично, есть 8 столбцов, и в каждом столбце также $\binom{8}{2} = 28$ способов размещения:
[
8 \times 28 = 224 \text{ способов}
] -
Всего способов, при которых ладьи бьют друг друга:
[
224 + 224 = 448 \text{ способов}
]
- Количество способов, при которых ладьи не бьют друг друга:
Вычтем количество "атакующих" размещений из общего числа размещений:
[
2016 - 448 = 1568 \text{ способов}
]
Ответ: 1568 способов. ...
Давайте еще раз внимательно рассмотрим задачу и подтвердим правильность ранее полученного ответа.
Задача:
Определить, сколькими способами можно разместить на шахматной доске две ладьи так, чтобы они не били друг друга.
Решение:
- Общее количество клеток на шахматной доске:
[
8 \text{ строк} \times 8 \text{ столбцов} = 64 \text{ клетки}
]
- Размещение двух ладей без ограничения:
-
Если ладьи различны (чтобы учитывать порядок размещения):
Первая ладья может быть размещена на любой из 64 клеток, а вторая — на любой из оставшихся 63 клеток.
[
64 \times 63 = 4032 \text{ способов}
] -
Если ладьи не различны (порядок размещения не важен):
Необходимо разделить на 2, чтобы избежать двойного счета пар.
[
\frac{64 \times 63}{2} = 2016 \text{ способов}
]
- Размещение двух ладей так, чтобы они били друг друга:
Ладьи бьют друг друга, если они находятся на одной строке или в одном столбце.
-
На одной строке:
Есть 8 строк. В каждой строке можно выбрать 2 клетки из 8 для размещения ладей:
[
8 \times \binom{8}{2} = 8 \times 28 = 224 \text{ способов}
] -
В одном столбце:
Аналогично, 8 столбцов:
[
8 \times \binom{8}{2} = 8 \times 28 = 224 \text{ способов}
] -
Всего атакующих размещений:
[
224 + 224 = 448 \text{ способов}
]
- Размещение двух ладей так, чтобы они не били друг друга:
-
Если ладьи различны:
[
4032 \text{ (всего)} - 448 \text{ (атакующие)} = 3584 \text{ способов}
] -
Если ладьи не различны:
[
2016 \text{ (всего)} - 448 \text{ (атакующие)} = 1568 \text{ способов}
]
Итог:
-
Если ладьи различны (учитывается порядок размещения):
3584 способов. -
Если ладьи не различны (порядок размещения не важен):
1568 способов.
Ранее предоставленный ответ (1568 способов) верен при условии, что ладьи не различны. Если же считать ладьи различными (например, одна белая, другая черная), то количество способов увеличивается до 3584. ...