На доске было написано 10 последовательных натуральных чисел. Когда стерли одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2002. Какие числа остались на доске? ...

Чтобы решить эту задачу, начнем с определения того, какие могли быть исходные 10 чисел. Пусть $a$ — это первое число последовательности, тогда следующие числа можно представить как $a+1$, $a+2$, …, $a+9$. Сумма всех десяти чисел равна:

[
a + (a + 1) + (a + 2) + \dots + (a + 9) = 10a + (0 + 1 + 2 + \dots + 9)
]

Сумма первых десяти целых чисел (0 до 9) равна $ \frac{9 \times 10}{2} = 45 $. Следовательно, исходная сумма равна:

[
10a + 45
]

Зная, что сумма девяти из этих чисел составляет 2002, мы исключаем одно число, пусть это число $x$. Таким образом, получаем:

[
10a + 45 - x = 2002
]

Отсюда можем решить для $x$:

[
x = 10a + 45 - 2002 = 10a - 1957
]

То есть $x = 10a - 1957$. Заметим, что $x$ также должно быть одним из чисел в последовательности, поэтому:

[
x = a + k
]

где $k$ принимает значения от 0 до 9. Таким образом, можем составить следующее уравнение:

[
a + k = 10a - 1957
]

Отсюда

[
9a = k + 1957
]

Теперь мы подставим каждое значений $k$ от 0 до 9 и найдем целочисленные значения $a$, для которых правая сторона равенства делится на 9:

[
9a = 1957, 1958, 1959, \dots, 1966
]

Заметим, что $1957$ делится на 9, в этом случае $a = 217$ и $k = 0$. Проверим это значение:

[
a = 217, \quad x = a_1 = 217
]

Тогда исходные числа: $217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226$.

Убираем 217, оставляем $218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226$. Проверим сумму оставшихся чисел:

[
218 + 219 + 220 + 221 + 222 + 223 + 224 + 225 + 226 = 2002
]

Следовательно, оставшиеся числа на доске — это 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226. ...