На доске было написано 10 последовательных натуральных чисел. Когда стерли одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2002. Какие числа остались на доске? ...

Пусть последовательные натуральные числа, которые были написаны на доске, выглядят так: $ n, n+1, n+2, \ldots, n+9 $.

Сумма этих 10 чисел равна:
$$ S = n + (n+1) + (n+2) + \cdots + (n+9) = 10n + 45. $$

Допустим, стерли число $ n+k $, где $ k $ — это некоторое число от 0 до 9. Тогда сумма оставшихся чисел:
$$ S' = (10n + 45) - (n+k) = 9n + 45 - k. $$

Из условия задачи известно, что эта сумма равна 2002:
$$ 9n + 45 - k = 2002. $$

Отсюда:
$$ 9n + 45 = 2002 + k, $$
$$ 9n = 1957 + k. $$

Так как $ 9n $ должно быть кратно 9, то и $ 1957 + k $ тоже должно быть кратно 9.

Посчитаем остаток от деления 1957 на 9:
$$ 1957 \div 9 = 217 \text{ с остатком } 4. $$

Чтобы $ 1957 + k $ было кратно 9, $ k $ должен быть таким, чтобы $ 4 + k \equiv 0 \pmod{9} $. Тогда $ k \equiv 5 \pmod{9} $, значит $ k = 5 $.

Теперь подставим значение $ k = 5 $ в уравнение для нахождения $ n $:
$$ 9n = 1957 + 5 = 1962, $$
$$ n = \frac{1962}{9} = 218. $$

Таким образом, числа, оставшиеся на доске, начинаются с 218 и до 226, исключая число 223:
$$ 218, 219, 220, 221, 222, 224, 225, 226, 227. $$ ...