Пусть последовательные натуральные числа, которые были написаны на доске, выглядят так: $n, n+1, n+2, \ldots, n+9$.

Сумма этих 10 чисел равна:

$S = n + (n+1) + (n+2) + \cdots + (n+9) = 10n + 45.$

Допустим, стерли число $n+k$, где $k$ — это некоторое число от 0 до 9. Тогда сумма оставшихся чисел:

$S' = (10n + 45) - (n+k) = 9n + 45 - k.$

Из условия задачи известно, что эта сумма равна 2002:

$9n + 45 - k = 2002.$

Отсюда:

$9n + 45 = 2002 + k,$

$9n = 1957 + k.$

Так как $9n$ должно быть кратно 9, то и $1957 + k$ тоже должно быть кратно 9.

Посчитаем остаток от деления 1957 на 9:

$1957 \div 9 = 217 \text{ с остатком } 4.$

Чтобы $1957 + k$ было кратно 9, $k$ должен быть таким, чтобы $4 + k \equiv 0 \pmod{9}$. Тогда $k \equiv 5 \pmod{9}$, значит $k = 5$.

Теперь подставим значение $k = 5$ в уравнение для нахождения $n$:

$9n = 1957 + 5 = 1962,$

$n = \frac{1962}{9} = 218.$

Таким образом, числа, оставшиеся на доске, начинаются с 218 и до 226, исключая число 223:

$218, 219, 220, 221, 222, 224, 225, 226, 227.$