При 10 собаках количество рукопожатий можно определить по формуле сочетаний:

$C(n, 2) = \frac{n \times (n - 1)}{2}$

Где $n = 10$:

$C(10, 2) = \frac{10 \times 9}{2} = 45$

Ответ: Было 45 рукопожатий.